La vision naïve est qu'il y a des "éléments" qui "appartiennent" à des "ensembles". Mais comme on le voit avec l'ensemble P(A) des parties de A, un ensemble peut être lui-même élément d'un autre. La distinction ensemble/élément n'est peut-être pas si essentielle que cela, c'est la relation d'appartenance qui compte.
Ainsi pour construire la théorie des ensembles, on part de l'idée qu'il suffit d'avoir un seul type d'objets, les "ensembles", et la relation "∈". On impose juste un certain nombre de règles de construction pour qu'il existe au moins un ensemble et fabriquer de nouveaux ensembles à partir de ceux qu'on a (création de paires, réunions, intersections...).
Création d'un successeur : le successeur de l'ensemble x est x+ = x ∪ {x}... ceci permettra notamment de fabriquer les nombres entiers à partir de 0 = ensemble vide :
| 0 = ∅ | 1 = 0+={∅} | 2 =1+={∅,{∅}} | 3 =2+={∅,{∅},{∅,{∅}}} | ... |
Ensemble des parties de A : notamment avec des ensembles infinis, cette opération sert à "changer d'échelle d'infini".
Que se passe-t-il si "on cherche le successeur de N", si "on rajoute un élément nouveau à l'ensemble N" ? Cette question peut être envisagée de deux façons.
Il y a la question de nombre cardinal, que nous avons effleurée : l'ensemble obtenu est équipotent à N
Mais si on demande de conserver la notion d'ordre sur N, cela dépend si le nouvel élément est "plus petit que tous les entiers" ou "plus grand que tous les entiers". Dans le premier cas, un simple renommage permet de retrouver N. Mais pas dans le second cas. On fabrique ainsi la notion de nombre ordinal. Dans le premier cas on note le résultat 1+ω=ω, dans le second ω+1 qui est différent de ω... on fabrique ainsi une arithmétique sur les nombres ordinaux...